exercices corrigés graphes terminale es

Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies. Une arête représente l'avenue reliant deux emplacements et est pondérée par le nombre de feux tricolores situés sur le trajet. Soit M la matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre n, et soit P_{0} l'état initial.La matrice ligne P_{k} de l'état probabiliste à l'instant k est égale à : L'état stable du graphe, s'il existe, est la matrice ligne P_k où k est le plus petit entier naturel tel que P_k=P_{k+1}. Le diamètre du graphe est la distance entre les sommets 5 et 4, c'est-à-dire 4. Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements de jardins publics. 5 − 1 − 6 − 4 − 3 − 2 − 1 − 3 est une chaîne eulérienne. Cette loi est présentée sous la forme d'une matrice ligne, où chaque terme est égal à la probabilité de l'état correspondant. Nos conseillers pédagogiques sont là pour t'aider et répondre à tes questions par e-mail ou au téléphone, du lundi au vendredi de 9h à 18h30. Un cycle est une chaîne fermée dont toutes les arêtes sont distinctes. En effet, il n'existe que deux sommets de degré impair(C et D), D'après le théorème d'Euler, le graphe n'admet pas de cycle eulérien. Le degré d'un sommet désigne le nombre d'arêtes dont ce sommet est l'origine. La matrice de transition de ce graphe est : \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \cr\cr 0{,}15 & 0{,}85 \end{pmatrix}. �"�N���33�PJIH(�DQM(�DK9�����*Fa�`��-�. D'après le théorème d'Euler, le graphe admet une chaîne eulérienne. L'ordre d'un graphe désigne le nombre de ses sommets. Proposer un trajet comportant un minimum de feux tricolores reliant A à G. La réponse sera justifiée par un algorithme. Autres cours proposés. ���K�� �'� endstream endobj 740 0 obj <>stream On considère la matrice M^p, puissance p -ième de la matrice M associée à un graphe d'ordre n. Son terme m_{i,j} est égal au nombre de chaînes de longueur p partant du sommet i vers le sommet j. M^3 =\begin{pmatrix}2 & 5 & 7 & 1 & 4 & 6 \cr 5 & \textcolor{red}{2} & 4 & 2 & 1 & 2 \cr 7 & 4 & 2 & 5 & 1 & 1 \cr 1 & 2 & 5 & 0 & 2 & 4 \cr 4 & 1 & \textcolor{Red}{1} & 2 & 0 & 0 \cr 6 & 2 & 1 & 4 & 0 & 0\end{pmatrix}. Le graphe ci-dessous représente le plan d'une ville. Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement s'il ne possède que des sommets de degré pair. Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré où, pour chaque sommet, la somme des poids des arêtes sortantes est égale à 1. BCDE forme un sous-graphe complet. Répondre sans justification aux quatre questions suivantes : Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? La matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre n est une matrice à n lignes et n colonnes, où le terme a_{i,j} est égal au poids de l'arête d'origine i et d'extrémité j ou à 0 si cette arête n'existe pas. Les points sont appelés sommets du graphe, les lignes arêtes du graphe. h�24P0P���w�I,.�M,P04 Deux sommets peuvent être reliés par plusieurs arêtes. Par contre, 1 − 5 − 6 − 4 n'est pas une chaîne. �� �)x�FCAP")3P�D2�ȧO�I���YZ��ӛ���,^��]t>���I�Z^ܮ�/�]�L��u���d�. La matrice associée (ou matrice d'adjacence) à un graphe d'ordre n est une matrice à n lignes et n colonnes, où le terme a_{i,j} est égal au nombre d'arêtes partant du sommet i pour aller jusqu'au sommet j. M =\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \cr 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \cr 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}. Le trajet ACEFG comporte le nombre minimum de 7 feux. �Q�Z'FPN֍�`�P��h Ǝ�`� {N�m_���N-�aY\���}/nݳ�(N�@0+� ���hʁH4a��,�\�Rb�,�R�_J�C�\4����A!�Ẃ��f�7oj[*Z�[C4CK����k6�w/�z^ݕ�ެ�+B[�E�тf�T8J�Ӣ]�=�>�?r�}�U�x�Y�:�7�ެ�~�-��ʊ� DzB��� �u`CIi�N�l�����j�k��l�z'�.�:�D�����oLkZJ��uh�����J4��n-��zЬ!�? Un autre cours très succinct : Graphes Probabilistes . %PDF-1.6 %���� ��F`�!�Ԋ��J���A�9�` jB*R��K�J�� �#؈�Tc���A�wX���s�E|���|���������T)�(RMۊT�}�)�%'G�%!L�&���Th�Hޕ_�fVm�׿�_ ����=���^-�&���^�a. On appelle graphe pondéré un graphe étiqueté dont les étiquettes sont toutes des nombres positifs. �}�80���'M� � � D����yK�p8�ӥ+[�䬛����K�`. Dans une population on étudie une épidémie de grippe. L'état probabiliste d'un graphe probabiliste est la loi de probabilité sur l'ensemble des états. Le poids d'une chaîne d'un graphe pondéré est la somme des poids des arêtes qui forment cette chaîne. Une chaîne fermée est une chaîne dont le premier sommet est identique au dernier sommet. Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Retrouve Alfa dans l'app, sur le site, dans ta boîte mails ou sur les Réseaux Sociaux. Calculez l'intégrale I en utilisant la formule d'intégration par parties: 1 ln e I x xdx=∫ Exercice n° 26. Au total: le graphe n’est pas complet. @@: difficulté moyenne (l'exercice doit être compris en utilisant éventuellement aide et corrigé). Il faudrait pour cela qu'il n'existe aucun sommet de degré impair. h�ܘmO�8�����*�-�Vn{�D�����}4Z"������7c'm^i� 1 − 3 − 2 − 7 − 3 − 5 − 4 − 6 − 2 − 1 est un cycle eulérien. �{G��X Le graphe est connexe car pour toute paire de sommets, il existe une chaîne reliant ces sommets. De nombreux extraits d'exercices du bac ES/L avec des corrections intégrales. La chaîne 1 − 2 − 3 − 4 est une chaîne de longueur 3. Graphes Algorithme de Dijkstra ... La réponse sera justifiée par un algorithme. Le nombre d'arêtes de ce graphe est 14\div 2=7. Quand il existe, l'état stable vérifie l'équation X=XM d'inconnue X où M est la matrice de transition. Il t'accompagne tout au long de ton parcours scolaire, pour t'aider à progresser, te motiver et répondre à tes questions. Dans un graphe probabiliste, chaque sommet correspond à un état. 2. Terminale ES 224 sujets tous corrigés depuis 2005. Les sommets 2 et 4 ne sont pas adjacents. Le chemin 1 − 2 − 3 − 4 est une chaîne reliant le sommet 1 à 4. @@@: difficulté certaine. On note a_n (respectivement b_n) la probabilité, en choisissant une personne au hasard dans la population, de tomber sur une personne malade (respectivement non malade). hތ�Mk�@��J��A�#����N{)V�[�A�����O��Q��=�L y��D C'est donc une matrice d'ordre 2 dont aucun coefficient n'est nul. Le graphe n'est pas complet car les points A et D (par exemple) ne sont pas relié par une arête. hެ�Qk�0ǿJ�swM�va�Ɯv0�N�pL+5����h��`� ����.����B"T���P���[yW�V�C�{�$lP�E��'��0f^W��W֬�f!r����||T>�>j#cy�"_�uz0�EVW0� Deux sommets d'un graphe reliés par une arête sont dits adjacents. Besoin de plus de renseignements sur l'abonnement ou les contenus ? appelé graphe complet. Un cycle eulérien est un cycle formé de toutes les arêtes d'un graphe, chacune des arêtes n'apparaissant qu'une seule fois. Ici, le graphe n’est pas complet car, par exemple, les sommets D et H ne sont pas adjacents. Télécharger examen corrige theorie des graphes gratuitement, liste de documents et de fichiers pdf gratuits sur examen corrige theorie des graphes. h���J�0�_e���i�6��j{%��²H���n�4���^Q��� �f�̉�8h� NcH��Ti�l؍�[;�xD�t�ёLȔ�2�g�7��PسdzAKAV8{Y+��ñ_��QCPrn��h�n����M�j}�t�R�Lf�j�8:�YI�(�e�躠��i�е�C�~��ےu8�={|x~�!�(OaȂ��08k��������OkKu���^0Ͽ5t��k��oe���dNZ�����/�>�|�3> +�2� endstream endobj 739 0 obj <>stream h��U�k�0�W�}���$C)�����PҌ��}��Z��������uҒ5�!�������;ʥ��r%�9�k��!����;/�$�%���myR�. La somme des degrés des sommets d'un graphe non orienté est égale au double du nombre d'arêtes que comporte ce graphe. ��eއ��O���n�F����e{�T�]�� P̲/�2D�]��l�v+�52ŧ��Zt7�#��K�V��歴°L�����d��������`�xg�SZXvu�a� ����m�7�=,���1Z�a�8am�D�!V傀/�[�R� De même, il existe deux chaînes de longueur 3 reliant le sommet 2 à lui même (2 − 1 − 3 − 2 et 2 − 3 − 1 − 2). Déterminer, en justifiant, le nombre chromatique de ce graphe. 1=��� � 9[ endstream endobj 735 0 obj <>stream Le diamètre d'un graphe est la plus grande distance entre deux sommets. Si au premier jour de l'étude 5% des personnes constituant cette population sont malades, l'état initial (au premier jour) est donc : P_1=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}05 & 0{,}95\end{pmatrix}. Cours sur les Graphes Probabilistes. On appelle graphe un ensemble de points et de lignes reliant certains de ces points. On appelle plus courte chaîne entre deux sommets une chaîne de poids minimum reliant ces deux sommets. Un graphe est dit complet si tous ses sommets sont deux à deux adjacents. Exercice n° 24. Un sous-graphe est une partie d'un graphe : il ne comporte que certains sommets du graphe initial ainsi que les arêtes reliant ces sommets. Cours de L'IREM de de Réunion: Les Graphes. La matrice associée à ce graphe est : M =\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Une chaîne est une liste ordonnée de sommets où chaque sommet est adjacent au précédent et au suivant. La longueur d'une chaîne désigne le nombre de ses arêtes. 224 sujets Exercices ES inspection 2003 Le graphe ci-dessous n'est pas connexe : le sommet 5 est isolé. La chaîne 1 − 2 − 3 − 4 − 6 − 1 est un cycle. �A���� ��3���M94�|[�̆w�����f��{o<7��.#�d�r�O�|62v,��L������iO���뻙���[V�v��_�L�Ų�����q�L�y�+�g��M�Qğ�4u�� ):AA)���A0l�w�S��I���ۙ=̷�3�#)R�wR�4?J����=Ý��ɶ�kPΝ�= ��g��I�aP��Z`��*h�� -�8�a)Ax,S,�R��#�����X� cM0 endstream endobj 736 0 obj <>stream Il existe donc une unique chaîne de longueur 3 reliant le sommet 5 à 3 (5 − 1 − 2 − 3). Le poids de la chaîne 7 − 6 − 1 − 2 est : 20+8+10=38. Révisez en Terminale ES : Cours Les graphes avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale La plus courte chaîne reliant le sommet 7 à 3 est 7 − 6 − 5 − 3 de poids 28. L'étiquette d'une arête est alors appelée poids de l'arête. Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre 2 ou 3 et si aucun coefficient de M n'est nul, le graphe probabiliste admet un état stable. )X�i#cS0mjj�͌ �F :V?�� U? 1. b. Déterminons, en justifiant, si le graphe est connexe: Ici, le graphe est connexe car il existe une chaîne entre deux sommets quelconques de ce graphe. Une étiquette peut correspondre à un texte ou à un nombre. Programme de terminale ES Ce document constitue un cours sur les graphes du niveau de l’option de la terminale ES : on y trouvera tout d’abord quelques exemples « de la vie courante » ainsi que le vocabulaire de base, puis les différentes utilisations pratiques des graphes : Les parties I et II sont indépendantes. ����T�eA�����r Exercice corrigé. �P,�`bb�MM����E�y%!E�� La distance entre deux sommets est égale à la longueur de la chaîne la plus courte reliant ces deux sommets. Une chaîne eulérienne est une chaîne formée de toutes les arêtes d'un graphe, chacune des arêtes n'apparaissant qu'une seule fois. ;�8:�v��cy{^�Ӳ���}W�� �D�}��O����,�|��U� #� D�4е� Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes ont un sens. Le nombre chromatique du graphe est donc supérieur ou égal à 4. Pour les autres graphes et les algorithmes consultez la page dédiée. Corrigé Partie 1. On appelle graphe étiqueté un graphe dont chacune des arêtes est associée à une étiquette. V7[f endstream endobj 738 0 obj <>stream Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement s'il possède aucun, ou exactement deux sommets de degré impair. Le graphe est connexe car pour toute paire de sommets, il existe une chaîne reliant ces sommets. Les graphes étiquetés et les graphes pondérés, M =\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \cr\cr 0{,}15 & 0{,}85 \end{pmatrix}, Méthode : Déterminer et utiliser la matrice d'adjacence d'un graphe, Méthode : Déterminer si un graphe admet une chaîne eulérienne ou un cycle eulérien, Exercice : Reconnaître les propriétés d'un graphe, Exercice : Déterminer la matrice adjacente d'un graphe, Exercice : Retrouver un graphe à partir d'une matrice adjacente, Exercice : Utiliser une matrice d'adjacence, Exercice : Déterminer la matrice de transition d'un graphe probabiliste, Exercice : Utiliser la matrice de transition d'un graphe probabiliste, Exercice : Déterminer quand il existe l'état stable d'un graphe probabiliste, Exercice : Déterminer si un graphe admet une chaîne eulérienne ou un cycle eulérien, Exercice : Trouver le plus court chemin en utilisant l'algorithme de Dijkstra. Partie II On s'intéresse au graphe pondéré. }&wyݴ�BL����"�jmF{V_�y[��@�2�V/��A0o�3��(1����E�+�$rgI>�&�b `� GTٛnFƪ9���|�4y�I�il�4>��*6R���?L��rK�~}�rԖ���}��L���-���-�t���Ň�+�����������k���M| 0 ���^ endstream endobj 737 0 obj <>stream Le sommet A désigne l'emplacement des services techniques. Cet état stable est indépendant de l'état initial. Si un graphe connexe possède exactement deux sommets de degré impair notés A et B, alors toute chaîne eulérienne de ce graphe part de A et termine en B ou part de B et termine en A. Il existe des algorithmes permettant de déterminer une chaîne eulérienne (ou un cycle eulérien selon les cas). Le cours: Graphes probabilistes. Soit g la fonction définie sur ]0; +∞[par g x x x x( ) ln= − 1) Déterminez la dérivée g' de g 2) Calculez 1 ln e ∫ xdx Exercice n° 25. Un graphe est dit connexe si pour tout couple de sommets, il existe une chaîne reliant ces deux sommets. Partie I On s'intéresse au graphe non pondéré. 734 0 obj <>stream h�21R0P���w�/�+Q0���L)�61 On peut déterminer la plus courte chaîne à l'aide de l'algorithme de Dijkstra. La distance entre les sommets 1 et 4 est 2. Suites et récurrence - Bac S Métropole 2009, Graphes Algorithme de Dijkstra - Bac ES Métropole 2009, Probabilités Combinaisons - Bac S Métropole 2009, Ajustement affine et probabilités - Bac ES Amérique du Nord 2009, Cube Barycentres - Bac S Amérique du Nord 2009, Equations différentielles Probabilités - Bac S Amérique du Nord 2009, Géométrie analytique - Bac S Centres étrangers 2009, Géométrie analytique Cube - Bac S Liban 2009, Graphe - Trajet minimal - Bac ES Amérique du Nord 2009, Graphes Trajet minimal - Bac ES Pondichéry 2009, Intégrales et suites - Bac S Amérique du Nord 2009, Intégrales et suites - Bac S Pondichéry 2009, Probabilités Lancers successifs - Bac S Pondichéry 2009, Nombres complexes Lieux géométriques - Bac S Pondichéry 2009, Nombres complexes et barycentres - Bac S Liban 2009, Nombres complexes et suites - Bac S Pondichéry 2009, Nombres complexes et rotations - Bac S Amérique du Nord 2009, Probabilités : événements indépendants - Bac S Centres étrangers 2009, QCM géométrie dans l'espace - Bac S Pondichéry 2009, QCM Nombres complexes - Bac S Centres étrangers 2009, Révisions spécialité - Bac S Centres étrangers 2009, Suite de fonctions - Bac S Centres étrangers 2009. Terminale ES Exercices Sommaire Niveau de difficulté : @: exercice de base (l'exercice doit être fait sans difficulté). 5 points-Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

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