somme des inverses des coefficients binomiaux

Je comprends pas grand chose. A noter que les coefficients binomiaux sont les coefficients dans les termes du développement de la somme (a+b)^n donc sont forcément des entiers. 17 . \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}} &=\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{3}\\ En déduire une expression simplifiée de Yn k˘1 cos µ a 2k pour tout n 2N⁄. Now changing integration variable $x = \frac{1}{2} + u$: Donc si : Alors : Ce me bloque il faut montrer qu'il est plus grand que 2 ou plus petit que je ne vois pas comment faire. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies, pour réaliser des statistiques et vous proposer des offres et services adaptés à vos besoins. $$ [Calcul d’un produit trigonométrique ♪] (ind)Soit a 2]0,…[. \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} Par symétrie des coefficients binomiaux on a encore cette inégalité pour k variant de 0 à n-2. \end{align} }{ (2k-1)! &=& \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} \frac{1}{2^{n}} \frac{1}{2k-1}\frac{(n+1)! You may use these HTML tags and attributes: Je pense qu'une erreur s'est glissée dans la ligne : sinon, grâce à la formule du triangle de Pascal. $$ Où ai-je dit le contraire ? Les fonctions - cours de seconde Fonctions de réference fonction inverse. 26 $\begingroup$ How to ... Limit of a Sum with Reciprocal Binomial Coefficients. Is the sequence of sum of $\binom{n}{k}^{-1}$ bounded? D'après le lien donné par Razes, s'il y a une limite elle vaut 2. @Luzak Le problème étant que j'ai toujours pas compris ceci : Les coefficients du binôme vont en croissant pour k allant de 0 à d'où l'inégalité ci dessus pour  k allant de 0 à . La calculatrice Python de Numworks : voici pourquoi c’est important ! Nous allons utiliser une démonstration ensembliste utilisant les dénombrements et cardinalités. Ce que trouve compliqué c'est de prendre 11 lignes pour écrire ce qui tient en une seule ligne (comme écrit à 08:09). Je trouve que :   est croissante sur En effet : Ce quotient est supérieur ou égal à 1 pour : La fonction est croissante pour tous les entiers compris entre 0 et et on a donc :   Elle est croissante en particulier pour : Ainsi  :   En distinguant les cas pairs et impairs j'ai montré que : Alors :   Conclusion : est bien croissante sur donc à fortiori sur Par ailleurs : Posons : on a alors : On a : Soit Finalement : Et là je bloque pour montrer que est croissante sur, Y a un problème que je ne comprends pas : je trouve  que est donc décroissante sur Soit :   donc :   Je prends : et Donc Donc :   Si n est pair :   Si n impair : Donc : Finalement : Donc : car f est croissante sur Soit : avec est donc décroissante sur. Note that $u_n(x)$ is a geometric series, hence On rappelle que les indices dans la notation Cji sont inversés par rapport à la notation avec les parenthèses. Mais j'ai envie de comprendre comment obtenir ça avant de calculer la limite : Si n pair : Si n impair : Ca marche bien car : Voici mon calcul de la limite : : Or : D'où : : Par sommation : Soit : D'après le théorème des gendarmes : Enfin : une remarque : pour montrer la croissance d'une suite il suffit de compare deux termes consécutifs (c'est la richesse du cas discret ...) donc il suffit de le faire pour 0 p q = p + 1 n/2 ... Vous devez être membre accéder à ce service... 1 compte par personne, multi-compte interdit ! and the Squeeze Theorem says What do I do? It only takes a minute to sign up. rev 2020.11.17.38013, The best answers are voted up and rise to the top, Mathematics Stack Exchange works best with JavaScript enabled, Start here for a quick overview of the site, Detailed answers to any questions you might have, Discuss the workings and policies of this site, Learn more about Stack Overflow the company, Learn more about hiring developers or posting ads with us. En effet Cji est nul quand on n’a pas 0≤i≤j, par convention. Récurrence ? Cqn-k est non nul uniquement pour n=k. &=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{7}\\ Devenir fort en Maths pour intégrer une prépa scientifique. Comme ton (sic) me fait peur ! Je vois pas comment partir. Ce que trouve compliqué c'est de prendre 11 lignes pour écrire ce qui tient en une seule ligne (comme écrit à 08:09). Ask Question Asked 8 years, 5 months ago. and finally looking for a story where Satan is the sane, stable one. luzak re : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 16:57 Ce n'est pas ta démonstration pour que je critiquais (on peut la simplifier mais ce n'est pas un problème). and therefore Au passage, et surtout parce que nous allons l’utiliser ci-après… Un petit mot sur la formule du pion. Les coefficients pour 0 ≤ k ≤ n figurent à la n-ième ligne.Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. Bonjour, effectivement, une coquille s'est glissée. &=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} \sum_{k=2}^{n+1} 2^{k-n-1} \left((-1)^k \left((2 n+1) \binom{n}{k-1}-\binom{n}{k}\right)+\binom{n+1}{k}\right) u^{k} \\ Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience. How accurate are the wormhole visualizations in Interstellar? 2+\frac2n\le\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}\le2+\frac4n\tag{11} $$ 2 \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\binom{n}{k}} \leq 2 + \frac{2}{n} + \frac{2(n-3)}{n(n-1)} \xrightarrow[n\to\infty]{} 2$$ How can I prevent a computer from turning ON? 2. u_n(x)=\frac{(1+z)^{n+1}-(1-z)^{n+1}}{2^{n+1}z}=\frac1{2^{n}}\sum_k{n+1\choose 2k+1}z^{2k}. $$ On considère la suite u définie par u(n):=somme de p=0 à n de 1/C(n,p) (Désolé je ne me suis pas encore mis à Latex) Je sais que la suite converge vers 2 (le théorème des gendarmes permet de le prouver) mais je n'arrive pas à prouver que la suite est dé Series with a reciprocal of the central binomial coefficient. Summing up, To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Your email address will not be published. 11. Is $C^{i}_j$ meant to be the binomial coefficient $i$ choose $j$, $\binom{i}{j}$, or a constant $C_n$ raised to different powers? $$. &=& \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} 2^{2k-n-1} \left(\left((2 n+1) \binom{n}{2k-1}-\binom{n}{2k}\right)+\binom{n+1}{2k}\right) \underbrace{\int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} u^{2 k}}_{\frac{1}{4^k} \frac{1}{2k-1}} \\ MathJax reference. $(4)$: Add $\frac1{\binom{n}{n\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{0}}=2$ to both sides $(3)$: Add $(1)$ and $(2)$ and sum $\vphantom{\frac{()}{()}}$ What happens to where umbilical lines are connected when a rocket lifts off? La formule de Vandermonde (on dit aussi l’identité de Vandermonde) terminera ce post. $(5)$: multiply both sides by $\frac{2^n}{n+1}$ &\le2+\frac4n\tag{10} When interested in the limit only, just observe that for $2 \leq k \leq n-2$, we have Si l'égalité est vrai sur comment montrer qu'elle l'est sur : On sait que :  . $$, $\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{n-k}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{6}\\ &=\frac{2^{n+1}}{n+1}+\frac{2^n}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{5}\\ What are these shiny wrist plates worn by astronauts in the SpaceX crew capsule. }$ $$ Thanks for contributing an answer to Mathematics Stack Exchange! @Razes : il ne s'agit pas de majorer les coefficients binomiaux  mais de les minorer, on fait la somme des inverses. Prenons : Après une rapide étude de la fonction je trouve le maximum de la fonction donc un majorant : Si : alors comme n est non nul puisque supérieur à 3 : On a donc : Mais ici je bloque un peu car cette inégalité je vois pas comment l'appliquer et à qui car j'ai des factorielles ... @Ramanujan : Tu as dit toi-même que les coefficients vont en croissant jusque donc si tu as certainement . Chercher la monotonie de de la suite . Remarque : en appliquant l’identité de Vandermonde au triplet (n,n,n) on retrouve cette formule (il faut aussi utiliser Cnk = Cnn-k). $$ Mais je vois pas comment démontrer : Bonjour je croyais que tu savais montrer la croissance des coeffs binomiaux sur la première moitié de chaque ligne ? Bonjour Ramanujan, Appliquer le théorème célèbre de la convergence : Toute suite croissante majorée est convergente et toute suite décroissante minorée est convergente. Je ne peux pas m'en servir car le but final de l'exercice est de démontrer la formule de Newton. Luzak a dit que ma démo avec la partie entière est inutilement compliquée, je connais que cette façon de faire. $$ {n\choose k}^{-1}=(n+1)\int_0^1x^{n-k}(1-x)^k\mathrm dx. &=\overset{\substack{k=0\\k=n\\\downarrow\\[3pt]\,}}{2\vphantom{\frac2n}}+\overset{\substack{k=1\\k=n-1\\\downarrow\\[3pt]\,}}{\frac2n}+\sum_{k=2}^{n-2}\frac1{\binom{n}{k}}\tag8\\ $$ Ah, I see; I got the inequality sign wrong. $$ macOS Big Sur creates duplicate versions of files. \end{align} • Monotonie Et Calculer la somme  des pour n=3,n=4 et remarquer qu'elle est plus grand que 1 à partir de n=4. J'ai des doutes sur la croissance de la suite. Définition Comme son nom l'indique, la fonction inverse associe à chaque nombre de son ensemble de définition une image qui correspond à l'inverse de ce nombre, elle est définie par la formule: f(x) = 1 x Ensemble de définition Simplifier sin(2x) sin(x)pour tout x 6˘0[…]. $$. Désolé, votre version d'Internet Explorer est, re : Somme des inverses des coefficients binomiaux, Familles numériques sommables - supérieur, Complément sur les Séries de fonctions : Approximations uniformes - supérieur. En fait je pensais à un encadrement et utiliser le théorème des gendarmes : je voulais poser : et voir si cette fonction est croissante ou décroissante sur afin de majorer la somme. Ce n'est pas ta démonstration pour que je critiquais (on peut la simplifier mais ce n'est pas un problème). $$ By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy, Privacy Policy, and our Terms of Service. S &=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} \left( \left(\frac{1}{2}+u\right)^{n+1} - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-u\right)^n \left( 1 + 2 (2n+1) u\right)\right) \\ Will my wooden bridge withstand the weight of my small truck? Je trouve : Après je sais pas appliquer les factoriels aux inégalités. $$ \begin{align} &\le2+\frac2n+\frac{n-3}{\binom{n}{2}}\tag9\\ For large $n$ the sum approaches the value of $2$ from above: I am hoping this sum has a nice probabilistic underpinnings to it. $$, $$ }$ Maintenant je voudrais que tu termines le calcul de la limite de la suite initiale. Thus, \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} Assuming $C_n^k$ stands for $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! site design / logo © 2020 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under cc by-sa. Does the Protection from Evil and Good spell kill the host of an Intellect Devourer? \begin{align} $$\begin{eqnarray} 2\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} Finding $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n { n \choose k}^{-1}$. Tu aurais pu écrire les coefficients pour une ligne du triangle de Pascal et voir tout seul une bonne minoration ! \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} On note C(n,p)=n!/p!(n-p)! &=2+\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{4}\\ 1. @Carpediem Difficilement lisible avec votre syntaxe C'est quoi ces inférieurs stricts ? \frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}&=\frac{n-k}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{1}\\ Modified the title (note that there is no, $$ Like @Sasha, one starts with a beta representation, namely, $$ What tools are there to investigate why my FICO score would have dropped significantly? Use MathJax to format equations. Remarque : en appliquant l’ident… How can an inn's dining room furniture be designed for different sized species? $(7)$: multiply both sides by $\frac{n+1}{2^{n+1}}$, For $2\le k\le n-2$, we have that $\binom{n}{k}\ge\binom{n}{2}$. What are jazz pianists playing in the background? Calculate sums of inverses of binomial coefficients. What is the Levi-Civita connection trying to describe? u_n(x)=\frac{x^{n+1}-(1-x)^{n+1}}{2x-1}. This elementary approach, based on the fact that the sum of two consecutive reciprocals of binomials is the reciprocal of a binomial times a factor is really nice! Utilisons la formule du pion pour extraire p. On vérifie que pour n=0, d’une part, et p=0 d’autre part cela marche aussi. Viewed 6k times 38. Exprimons donc en la développant l’expression de (1+x)2n. salut pour simplifier je note b(n, k) le coef bin ... avec 0 =< k =< n b(n, 0) = b(n, n) = 1 et pour 0 < k < n : b(n, k) > n/2 <=> 1/b(n, k) < 2/n donc u(n) =< 2 + (n - 2)2/n bon c'est insuffisant  ... donc reprenons : b(n, 0) = b(n, n) = 1 b(n, 1) = b(n, n-1) = n et 1 < k < n - 1 => b(n, k) >= n(n - 1)/2 <=> 1/b(n, k) =< 2/n(n - 1) et c'est fini ... Oui carpediem c'est fini (encore qu'il faille tenir compte des inégalités de ce genre) mais IL refuse d'utiliser qu'il ne sait pas démontrer. \frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}&=\frac{n-k}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{1}\\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{\binom{n}{k}} = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{n+1-k} \frac{1}{2^k} $$. Tu es sur la bonne voie mais il faut faire un cran de plus : et essayer de majorer la somme (majore chaque terme par et la somme par   ). &\le2+\frac4n\tag{10} \begin{align} En fait il n'arrive pas à voir que car il a admis (je ne crois pas qu'il arrive à le démontrer) que. $$, $$ $$ Mais si c'est pour trouver je ne vois pas d'issue. What does $\lim \limits_{n\rightarrow \infty }\sum \limits_{k=0}^{n} {n \choose k}^{-1}$ converge to (if it converges)? 2\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} $$ \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} on somme convenable (avec le bon nombre de termes) pour obtenir (une majoration de) u_n, @Luzak Il sort d'où votre ? J'ai rectifié. &\le2+\frac2n+\frac{n-3}{\binom{n}{2}}\tag9\\ 2+\frac2n\le\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}\le2+\frac4n\tag{11} (1) : d’après l’hypothèse de récurrence appliquée à (p,q,n) mais aussi à (p,q,n-1). $$ Is the sequence of sum of $\binom{n}{k}^{-1}$ bounded? \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}} $$\frac{1}{\binom{n}{k}} \leq \frac{1}{\binom{n}{2}} = \frac{2}{n(n-1)}.$$ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{k+1}}\right) Using the change of variables $x=\frac12(1+z)$ with $-1\leqslant z\leqslant 1$ yields Explanation, $(1)$: Binomial identity: $\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{n-k}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! $$ &=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{7}\\ How to calculate the sum of sequence $$\frac{1}{\binom{n}{1}}+\frac{1}{\binom{n}{2}}+\frac{1}{\binom{n}{3}}+\cdots+\frac{1}{\binom{n}{n}}=？$$ How about its limit? Démonstration tirée de cet excellent livre p 456. Nous allons maintenant démonter la formule de Vandermonde par récurrence. @Luzak Ceci est l'inverse d'un coefficient binomial : donc le raisonnement est juste. Therefore, for $n\ge4$, $$ \sum_{k=1}^n{n\choose k}^{-1}=S_n-1=\frac1{2^n}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}2\rfloor}{n+1\choose 2k+1}\frac{n+1}{2k+1}-1. Pierre Cazals. &=2+\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{4}\\ \frac1{\binom{n}{k+1}}&=\frac{k+1}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{2}\\ Furthermore, there are $n^{1/3}$ terms, so the sum is bounded by $\frac{n^{2/3}}{n(n-n^{1/3})}$. By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service, privacy policy and cookie policy. $$ Des liens pour découvrir. }$, $\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! Il faudra sans doute faire une refresh de la page. \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}=2\tag{12} \end{eqnarray} Tout ça pour "découvrir" qu'une famille symétrique par rapport à varie en sens contraire sur les entiers séparés par . I’ve seen that reversal here at least once before. (2) : d’après la formule du triangle de Pascal. @Toureissa Je trouve : Je dois calculer les différence pour   à ? Bonjour, Soit la suite définie pour tout par : Démontrer que cette suite converge et préciser sa limite. @darijgrinberg: $\left|\frac1{n-k}-\frac1n\right|=\frac{k}{n(n-k)}\le\frac{n^{1/3}}{n(n-n^{1/3})}$ because it's biggest when $k$ is. \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}=2\tag{12} @Arturo: My guess is that $C_n^k$ is meant to be $\binom{n}k$, with the subscript and superscript interchanged for some reason. (1+x)^n(1+x)^n What is the best way to convince clients to send original image files instead of screenshots of images? $(2)$: Binomial identity: $\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! En identifiant les coefficients de même degré des polynômes résultant de (1+x)n+m d’une part et (1+x)n(1+x)m d’autre part, on arrive à la formule de Vandermonde. \stackrel{\ast}{=} \sum_{k=1}^n \frac{n+1}{n+1-k} \frac{1}{2^k} Bonjour. To learn more, see our tips on writing great answers. ben tu y mets des inégalités larges là où il faut ... et c'est on ne peut plus limpide ... luzak : oui bien sur !! On rappelle que les indices dans la notation Cjisont inversés par rapport à la notation avec les parenthèses. $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\binom{n}{k}} = 2.$$, Here is a method that I just came up with in chat $$ \frac1{\binom{n}{k+1}}&=\frac{k+1}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{2}\\ Thus C’est : Nous allons voir comment la formule du pion et la formule de Vandermonde peuvent être utilisées. Thus Calculons : On sait que : et que : Exprimons donc en la développant l’expression de (1+x)2n. Ok je vais suivre votre méthode mais une question : Comment savez vous que il faut un "cran" de plus et faire apparaitre la somme de 2 à n-2 et non de 1 à n-1 ? soit la 5ième ligne de calcul. Je pense plutôt à une décroissance à partir de . Merci de me l'avoir signalé. To get an exact formula, one can use a method similar to @Sasha's while (i) being somewhat simpler and (ii) avoiding a step I find unclear. Hard summation involving binomial and quadratic, Upper bound on sum of binomial coefficients, Identity of binomial coefficients with a series, Convergence of partial sums and their inverses, Combinatorial identity with binomial coefficients, Multiple sum involving binomial coefficients, Proving Binomial identity involving algebraic expression, Bounding limit of sum of binomial coefficients. Mais l’autre but de cet article est de montrer comment trouver une autre expression de sommes utilisant des coefficients binomiaux par calcul ou par dénombrement. \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{k+1}}\right) Le produit donne des termes en xn pour les produits des xi et xj avec i+j = n. Donc le coefficient correspondant à C2nn est la somme des coefficients de tous ces termes correspondant à i+j=n. \cdot k! En effet, la condition sur les indices i,j>0 et i+j=n se traduit par un seul indice i variant de 0 à n et on remplace j par n-i. $$ &=\frac{2^{n+1}}{n+1}+\frac{2^n}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{5}\\ $$ Et maintenant que tu as satisfait ta curiosité concernant un résultat évident, fais les majorations utiles et conclus pour la limite de ta suite. S = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\binom{n}{k}} = \int_0^1 \sum_{k=0}^n k (1-x)^{k-1} x^{n-k} \mathrm{d} x = \int_0^1 \frac{x^{n+1} -(1-x)^n ((2n+1)x-n)}{(1-2x)^2} \mathrm{d} x &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{6}\\ [Produit des coefficients binomiaux ♪♪] (ind)On définit la suite (un)n˚1 par un ˘ˆˆ n $$ D'accord Luzak j'ai du faire une erreur de calcul. A comment almost 7 years later : this is very elegant. Asking for help, clarification, or responding to other answers. I got lost at the moment when the sum on $k\leqslant\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor$ becomes a sum on $k\leqslant n$ (last equality before, @did I have updated the answer. En mathématiques, le triangle de Pascal, est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. Is this “combinatorial” sum equal to $1$ for every natural $m$? Ok Luzak j'abandonne les parties entières et je suis votre méthode. Prenons , c'est quoi le majorant de pour en déduire le majorant de ton expression. $(6)$: $a_n=\frac{2^{n+1}}{n+1}+a_{n-1}$ where $a_n=\frac{2^{n+1}}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}$

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