dérivée de la fonction zêta

O ) I s s − pour une certaine constante A (voir plus bas). étant la factorielle croissante. b {\displaystyle \ln \zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O{\Big (}(\ln t)^{\alpha }{\Big )}} ζ ξ On a alors. L'application de la formule sommatoire d'Abel donne également. = ∪ où O est la notation de Landau, on déduit que la série[17]. . { On montre aussi que la fonction ν(σ) de s = Il reste à montrer que le dernier terme est O(ln T). le lacet décrit ainsi : C et ( 1 ζ Il faut faire attention au fait que les expressions faisant intervenir une somme sur les zéros ρ = β + iγ ne sont généralement pas commutativement convergentes et que l'ordre de sommation intervient : on somme symétriquement par rapport à 1/2. s ⁡ = {\displaystyle D_{\zeta }:=\{s\in \mathbf {C} \mid {\text{Re}}(s)>1\}} = {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}}}=0} = n n ( = {\displaystyle s^{\overline {k}}\,{\frac {\zeta (s+k)-1}{(k+1)! − C La valeur s = 1 est donc une singularité de la fonction. | Cela constitue le théorème de Dirichlet. = ( On part à nouveau de l'expression intégrale vue plus haut, pour tout complexe s tel que Re(s) > 1 : D'une autre part, on considère la fonction h sur l'ensemble − cotan {\displaystyle t\mapsto {\frac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}} ( t B ζ s À partir du prolongement pour Re(s) > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (valide pour 0 < Re(s) < 1, voir plus loin), on obtient le prolongement pour Re(s) ≤ 0 (sauf en s = 0). 2 Les propriétés statistiques des zéros non triviaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques, ainsi que d'interprétations probabilistes[41],[42]. {\displaystyle D'(s)={\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}} D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. = {\displaystyle \zeta (2k)=\ {\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}\ (2\pi )^{2k}}{2\,(2k)!}}} 1 La partie entière [u] se décompose en u – {u}, où {u} désigne la partie fractionnaire de u. n + t {\displaystyle \gamma _{n}} k σ 1 {\displaystyle \vartheta \in \mathbf {R} } n Cela justifie que l'on définisse, pour tout complexe s satisfaisant Re(s) > 1 la série : Cette série, normalement convergente sur tout compact du demi-plan Re(s) > 1, définit une fonction holomorphe sur ce demi-plan. Dans la région Re(s) > σ0 > 1, la majoration est celle d'une constante. 1 La fonction zêta de Riemann De l’arithmétique à l’analyse. a 2 ′ À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. {\displaystyle C_{1,\nu }} ν pour 0 < α < 1, la quantité μk(α) étant l'équivalent de la fonction μ de ζ pour la fonction ζk. Autrement dit, l'hypothèse de Riemann implique l'hypothèse de Lindelöf (voir plus bas). On a vérifié numériquement sur plus de 1 500 000 000 zéros que leur partie réelle était bien 1/2[note 10]. 2 Il prend la forme de l'estimation de l'expression. x Il existe donc une infinité de zéros dans la bande critique mais, actuellement, on ne sait pas exactement où. Par dérivation de l'égalité précédente, on obtient immédiatement {\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2k}\mathrm {d} t=O(1)} n La position de ses zéroscomplexes est liée à la répartition des nombres premiers. Valeurs de la fonction zêta pour s entier supérieur à 1. = − , T ( {\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}} Les deux fonctions eD et ζ sont holomorphes sur Re(s) > 1 et elles coïncident sur la demi-droite ]1, +∞[. − La conjecture (faible) des paires corrélées exprime que, pour un nombre α > 0. {\displaystyle \gamma _{0}} ∗ n n … La fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe définie, pour tout nombre complexe s tel que Re(s) > 1, par la série de Riemann : D'après la théorie des séries de Dirichlet[note 1], on déduit que la fonction ainsi définie est analytique sur son domaine de convergence. 1 2 s 1 Aussi la théorie s'est-elle développée dans plusieurs directions : la première est celle de l'étude des zéros eux-mêmes. + k ( Par l'intermédiaire de la fonction ζ de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, notamment dans l'effet Casimir. {\displaystyle {\frac {(N+1)^{1-s}}{1-s}}} Si certains caractères de cet article s’affichent mal (carrés vides, points d’interrogation, , « A chronology for the letters Ζ, Η, Λ, Π in the Byzantine minuscule book hand », Lettres supplémentaires de l'alphabet grec, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Zêta&oldid=175259519, Catégorie Commons avec lien local identique sur Wikidata, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, Majuscule mathématique italique grasse dzêta, Minuscule mathématique italique grasse dzêta, Majuscule mathématique grasse sans empattement dzêta, Minuscule mathématique grasse sans empattement dzêta, Majuscule mathématique italique grasse sans empattement dzêta, Minuscule mathématique italique grasse sans empattement dzêta. . 2 ≤ Malgré quelques progrès, on n'a pas réussi à résoudre la question de l'ordre de ζ dans la bande critique. x {\displaystyle {\mathbf {1} }_{Q}} Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction pour les entiers positifs pairs en utilisant l'expression de sous forme de produit infini ; il en a déduit la formule :. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. s La fonction zeta de Riemann est la fonction définie sur ]1,+∞[ par : (∀x > 1), ζ(x) = X+∞ n=1 1 nx. s d , puisque Le son que cette lettre représente se transforme toutefois rapidement en « r » en latin et la lettre, devenue inutile, est supprimée au IVe siècle av. C s ( Il en est de même de ses dérivées. 2 ( ( ) D 2 d s μ K 42 D'après le théorème de factorisation de Hadamard pour une fonction méromorphe, toute fonction méromorphe s'écrit sous forme de produit de facteurs dits primaires dans lesquels apparaissent les zéros et les pôles de la fonction. Quand s tend vers – k, Γ(s) ayant un pôle simple en s = – k , ζ(s) est par conséquent la somme d'une fonction qui tend vers 0 et du terme : Ainsi, le prolongement méromorphe de ζ à tout le plan complexe n'a de pôle qu'au point 1, et l'on obtient au passage la formule d'Euler[note 5] : La fonction ζ(s) se prolonge aussi analytiquement par l'intégrale. s'étend à k = 0 avec pour tout complexe s tel que Re(s) > 1. Ces zéros sont appelés les zéros triviaux. O ( i i De la relation fonctionnelle, on déduit que, pour s différent de 0 et de 1 : La fonction ξ définie pour s différent de 0 et de 1 par. Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer. À lire pour commencer. Ceci a conduit le physicien théoricien Michael Berry à conjecturer que les parties imaginaires Ek des zéros non triviaux pouvaient s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur hamiltonien décrivant un système quantique non relativiste qui serait classiquement chaotique, et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du temps[36],[37],[38]. La méthode de Vinogradov-Korobov sur les majorations des sommes d'exponentielles permet de montrer que l'on a, pour tout t, l'inégalité, On connaît, sans aucune hypothèse, une minoration de l'ordre des fonctions ζ(1 + it) et 1/ζ(1 + it). , alors. ε s ⁡ 1 s On sait également que la proportion des zéros de la forme β + iγ en dehors de l'axe Re(s) = 1/2 et tels que |γ| < T tend vers 0 quand T tend vers l'infini, cette proportion décroissant également à mesure que β s'écarte de 1/2. Le résultat suivant sert essentiellement à majorer la fonction 1/ζ sur des chemins bien répartis. = k De la définition de la fonction zêta par une intégrale sur ℝ+, on a déduit[22] que pour tout entier naturel n, ζ(–n) est le nombre rationnel suivant : Si n est pair mais non nul, le nombre de Bernoulli Bn + 1 est nul, d'où, avec n = 2k et k > 0 : C'est cette relation que Ramanujan écrivit en 1910 dans un article du Journal of the Indian Mathematical Society sous la forme[23] : La fonction ζ étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. {\displaystyle b\in \mathbf {C} } En supposant σ > 1/2 et appelant ν(σ) le plus petit exposant α pour lequel on a {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} la dernière égalité étant valide a priori pour Re(s) ∈ ]–1, 0[, mais restant vraie pour Re(s) ∈ ]0, 1[, par prolongement analytique. Q L'hypothèse de Riemann selon laquelle tous les zéros non triviaux de la fonction ζ de Riemann sont de partie réelle égale à 1/2 renforce encore l'intérêt pour ces zéros. Ce faisant, la fonction ln ζ est alors uniforme sur le domaine coupé. , de sorte que la série précédente converge également pour s = 1, vers 0 : Ce résultat, conjecturé par Euler, avait déjà été démontré par von Mangoldt en 1897[8]. v La forme affaiblie implique l'hypothèse de Riemann (et donc l'hypothèse de Lindelöf) et la simplicité des zéros. , donne la « valeur principale de Cauchy de la fonction » en 1 : La fonction ζ satisfait à l'équation fonctionnelle : valable pour tout nombre complexe s différent de 0 et 1, démontrée par Riemann en 1859. {\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\arg {\Big (}\zeta \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} T\right){\Big )}} ( 1 + }}={\frac {1}{1-s}}{1-s \choose k+1}\sum _{n=2}^{\infty }n^{1-s-(k+1)}} Elle ne dit rien sur la multiplicité des zéros. La propriété de convexité impose, dans la bande critique. et | ( Les coefficients } La barre verticale ainsi que les deux barres horizontales peuvent varier en longueur[1]. Pour comprendre la théorie de Bohr des séries de Dirichlet dont la fonction zêta fait partie puisqu'elle est presque périodique au sens de Bohr dans le demi-plan à droite du pôle 1. = Une expression de la dérivée de la fonction ζ est donnée par la série de Dirichlet, convergente si Re(s) > 1 : La théorie des séries de Dirichlet montre que pour s = σ + it, la série de Riemann s ∑ « Soit f une fonction analytique dans le disque |z| ≤ r contenant les zéros a1, a2, … , an. Ces valeurs de ζ(2k) s'expriment donc à l'aide des puissances paires de π[1] : La formule 2 ( On note aussi N0(T) le nombre de zéros se trouvant sur le segment [1/2, 1/2 + iT]. ) = On a ainsi la formule publiée par Edmund Landau : s ∫ n ν π s On y trouvera aussi une preuve élémentaire du théorème de Hadamard-La Vallée Poussin, une preuve du théorème de Dirichlet et la démonstration de la région sans zéro de Vinogradov-Korobov. , appelés constantes de Stieltjes ou nombres de Stieltjes, sont donnés par[19] : En particulier, ⁡ s 1 La théorie de la fonction ζ de Riemann est presque tout entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. ) ) x / γ ) est paire. 2 , puisque ν {\displaystyle {\rm {Id}}*\mu =\varphi .}. il en serait fini de l'hypothèse de Riemann. Pour ces points, on peut appliquer soit la série de Dirichlet de 1/ζ, qui converge sur Re(s) = 1, soit une autre relation du même genre[16]. 2 {\displaystyle \xi (s)=s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)} Elle se traduit en disant que la fonction C = , μ 2 On peut écrire le développement en série de Taylor : L'hypothèse de Riemann conjecture que l'intégrale converge et que la relation reste vraie pour Re(s)  >  1/2 (s ≠ 1). Évidemment, plus ε est petit, plus L(σ0, ε) est grand. n n ∗ ) B . pour un certain A > 1, n'est pas réfutée. alors pour que h soit holomorphe sur tout le plan complexe on prend 0 < ν < 2π (voir que eu – 1 ne s'annule pas si ν est défini ainsi) donc : et puisque la fonction h est indépendante de ν alors : En utilisant les formules d'Euler on trouve que : alors en substituant l'expression on aura : et d'un autre côté, d'après la formule des compléments de la fonction gamma, on a pour tout s tel que Re(s) ∈ ]0, 1[. Il est actuellement, Dérivabilité de la fonction zêta de Riemann, Futura-Sciences : les forums de la science, Region de convergence et emploi de la transformee de Laplace, Valeurs impaires de la fonction zêta de Riemann. On sait seulement que 0 ≤ δ ≤ 1. n ) < La relation fonctionnelle permet d'estimer le module dans la bande σ ∈ [0 ; 1/2]. {\displaystyle \sigma _{a}={\rm {Id}}^{a}*{\mathbf {1} }. + φ 3 On part de l'expression intégrale vue plus haut, pour tout complexe s tel que Re(s) > 1 : Le prolongement analytique est réalisé[note 4] en écrivant, La seconde intégrale est une fonction holomorphe de s. On décompose en série de Taylor dans la première. 1 est la même fonction ν(σ) que celle de ln ζ( σ+ it). )

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